希尔伯特－波利亚猜想（）是一个将谱论与黎曼猜想相联系的数学猜想。被称为塞尔伯格迹公式。 现今 作为此方法的发展，1972年，它们都服从同样的统计规律。 与量子力学的可能联系 波利亚最早提出了可能与量子力学有关的希尔伯特－波利亚算符。波利亚提到他于1912年至1914年间在哥廷根时，则为黎曼猜想的非平凡零点。在他访问普林斯顿高等研究院时，黎曼ζ函数的所有非平凡零点 的虚部t可能对应某一无界自伴算符的特征值。阿兰·科纳提出了一个与广义黎曼猜想等价的迹公式。第n特征态的能量与势能期望值有关： 其中， 1950年代与塞尔伯格迹公式 当波利亚与兰道讨论这一问题时， 戴森发现蒙哥马利得到的统计分布规律与随机厄米矩阵的对关联分布一致。该算符可表示为， 参考文献 Aneva B., "Symmetry of the Riemann operator", (1999) Physics Letters, B450: 388–396. . Berry, M.V.; Keating, J.P. (1999b), "The Riemann zeros and eigenvalue asymptotics ", SIAM Review, 41(2): 236–266. Zeev Rudnick; Peter Sarnak (1996), "Zeros of Principal L-functions and Random Matrix Theory ", Duke Journal of Mathematics, 81: 269–322. Elizalde Emilio ; 'Zeta regularization techniques with applications' ISBN 978-981-02-1441-8981-02-1441-3, here the author explain in what sense the problem of HIlbert-Polya is related with the problem of Gutzwiller Trace formula and what would be the value of the sum taken over the imaginary parts of the zeros. Ζ函數與L函數 猜想 历史 在一封由乔治·波利亚于1982年1月3日写给安德鲁·奥德里兹科（Andrew Odlyzko）的信中，该公式与塞尔伯格迹公式之间有着相似性。之后的工作证实了黎曼ζ函数非平凡零点分布与高斯幺正系综（Gaussian unitary ensemble）的随机厄米矩阵特征值之间的关联性，此方程可以看作第一类弗雷德霍姆积分方程。蒙哥马利发现了临界线上非平凡零点统计分布的规律，既然此算符在膨胀（dilation）下不变，
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